TOHO Today 桐朋トゥデイ

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休校期間中に中学三年生(78期)ではオンライン上で数学コンテスト(第6回・第7回)を実施しました。
学年恒例となってきたこのコンテストでは,7題の難題を,期間中ならば時間無制限で解答できるという形式で行っています。

友人間や家族間で話題になる数学
時間をかけて考えることの楽しさを体験で伝えること
勉強と遊びの境界をなくすこと

を目指して企画しています。解答の提出は任意ですが,休校期間中を最大限活用してもらい,解答者数は過去最高を記録しました。(現在集計中で,表彰は学期末を予定しています。)

第7回コンテストで実際に出題した7題のうち3題ほどを紹介します:


<問題4>『ふわふわした四角形』

座標平面上に4点A,B,C,Dがあります。
点Aと点Bのx座標の値の差は2で, y座標の値の差は3です。
点Bと点Cのx座標の値の差は7で, y座標の値の差は2です。
点Cと点Dのx座標の値の差は2で, y座標の値の差は1です。
このとき,4点A,B,C,Dを4つの頂点にもつ四角形の面積として考えられる最大の値はいくらですか。


<問題6>『うすいば』
1495は13の倍数です。 (1495=115×13)
1495を逆から読んで得られる数5941もまた13の倍数になっています!(5941=457×13)

このような数は他にもあります。たとえば,
1586とそれを逆に読んで得られる数6851はともに13の倍数です。 (1586=122×13,6851=527×13)

このように,逆から読んでも倍数の性質が保たれる数は面白いですね。

そこで問題です。

ある4桁の数は78の倍数であり,逆から読んで得られる数もまた4桁の78の倍数であるという。このような数を1つ答えて下さい。

※ただし,以下の2つの数は答えから除外するものとします。
①6006(除外する理由:そもそも逆から読んでも元の数と変わらず,答えとしてつまらないので)
②8580(除外する理由:逆から読むと0858となり先頭に0が来てしまい,逆から読んだ数が4桁の数とは言えないので不適当)


<問題7>『宝探し』

以下の20個の2次式①~⑳のうちから異なる2本の式を選び,その2本を等号でつなげると2次方程式が得られます。

得られる2次方程式は全部で190通りありますが,そのうち重解が得られる組み合わせがたった1つしかありません。解が重解であるような二次方程式をつくるには何番と何番を組み合わせればよいでしょうか。番号で答えなさい。
※この問題はPCなどを使わず論理的に解答することができます。紙と鉛筆があれば充分です。


過去の記事はこちらです(第5回 78期数学コンテスト解答第5回 78期数学コンテスト第3回 78期数学コンテスト

中学1年生の学校生活もようやくスタートしました。

4月以降、休校期間が続いていましたが、6月1日(月)に入学式が行われました。

その後、クラスを半分に分けて、午前と午後の分散登校を実施。

6月17日(水)から一斉登校になりました。

学年・クラス全体での生活が始まり、毎日新しい仲間づくりが行われています。

新入生2人からコメントをもらいましたので紹介します。

また2人には今後、本校ホームページのStudent’s Board(スチューデンツボード)にて、学校のことを紹介してもらう予定です。

 

棚橋亮介くん(左側)

「学校生活も始まり、だいぶ生活になれてきました。教室も最初のように静かではなくにぎやかになりました。ようやく始まった授業も面白く、人生経験を織り交ぜながら説明してくれる歴史の授業が僕の中では今のところ一番好きです。これから、部活や行事が始まると考えると、ものすごく楽しみです。中学校生活頑張ります!」

 

髙橋祐貴くん(右側)

「僕は同じ名字と名前の人がクラスにいるので、色々なニックネームで呼ばれている。例えば勘違いして早弁をしたから“早弁”。エアコンをよく付けるから“エアコン係”。京王線を使っているから“京王線”。って、もうちょっとネーミングセンスのあるニックネームはなかったのかな。僕もネーミングセンスはないけど・・・。」

先日掲載しました『第5回 78期数学コンテスト』記事内の問題に対する解答です。コンテスト終了に伴い公表いたします:

<問題3>
nを自然数とし,次の条件を満たす を見つけることを考えます。

(条件)n×2020 は2つの連続した自然数の積で表現される。

この条件を満たす明白なnは,n=2019 やn=2021 ですが,
n=5 のときも,
5×2020=100×101
と書き換えられるので条件を満たしていると言えます。これは興味深いことです。
では,2019未満の自然数nのうち,条件を満たす最大のnを求めてみてください。

[問題3の解答]
2020=2×2×5×101と素因数分解できることに注目します。
これらの素因数のうち,比較的大きな素因数101を利用します。
もし,2020=m×(m+1)と(mは自然数)表記できる場合には,mまたはm+1は素因数101をもたなければなりません。そして2019未満のなるべく大きな自然数で,101の倍数を検討すると,2020-101=1919があります。
1919=101×19,1920=3×5×(2^7)ですので,m=1919とすれば,m×(m+1)には2020の素因数がすべて充分に登場し,等式
1919×1920=1824×2020
を得ます。したがって,答えは1824です。■

[問題3の講評]
誤答で多かったのは126ですが,これは惜しい答えです。意外と大きな数が答えになります。23名の生徒が正解しました。

<問題7>

学習したように,√2 を小数で書き下すと,
√2=1.4121…
となります。循環のない無限小数です。ところで,
√55=7.4161…
ですので,√2と√55では小数第1位と小数第2位が一致していることが見てとれます。 また,
√180=13.4161…
であるので,√2と√180でも小数第1位と小数第2位が一致していることが見てとれます。
さて,そこで, 次の条件を満たす最小の自然数n(ただしn≧3とする)を求めて下さい:

(条件)√nと√2は小数で書き下したときに,小数第1位,小数第2位,小数第3位,小数第4位が一致する。

※なお,この問題は電卓があると解きやすいと思われます。使用する電卓については根号機能は必要なく,掛け算機能のみあれば充分です。

[問題7の解答]
√n≒m+√2(mは自然数)と近似ができるはずですので,両辺を2乗して,
n≒m^2+2+m×2√2
となります。ここで,m^2+2は整数ですから,m×2√2をなるべく整数値に近づけることを考えます。
たとえば,m=6のとき,6×2√2=16.97…で整数値17に近いですが,n=6^2+2+17=55で得られるn=55は,問題文中の例にあるとおり,
√55=7.4161…としかならず,√2とは小数第1位と第2位しか一致しません。
そこで,電卓をさらに叩き,m×2√2がより整数値に近づくところを探していくと,
35×2√2=98.9949…という整数値99に極めて近い数値を得ます。これに対応するn=35^2+2+99=1326が,
1326=36.41428…という√2の小数部分の充分な近似を与えるため,n=1326が答えです。■

[問題7の講評]
この問題には17名が正解しました。プログラミングを組んだ生徒もいれば,驚くべきことに完全に手計算で解いた生徒もいました。また,nに関する「法則性」により解答にたどりついた人もいます。解法は多種多様のようで,上に掲載したのはその一例です。

1月16日の放課後に『数学カフェ』を開催しました。
ジュニア数学オリンピック(JJMO)の予選問題の解答を公式サイトによる発表よりも早く作る企画です。
参加者はJJMOに出場した中学2年生が中心でしたが,それ以外の生徒も参加してくれました。

多目的ラウンジのホワイトボードを利用して,予選当日に解けなかった問題・解答が判然としない問題について議論が交わされました。
「カフェ」ですので,コーヒーと若干のお菓子も出ます。多目的ラウンジは壁面全体がホワイトボードになっていますので,数式や図で埋め尽くすにはちょうど良いスペースです。

この日議論が白熱した直角三角形によるタイル張りの問題では,数え上げをする上での2人の生徒から出た2つのアイデア(120°の分割と平行四辺形によるタイリング)の良いところを融合させ,答にたどりつくことができました。

また,問題文を理解すること自体が難しいオセロのような第11問の問題についても,鋭いアイデアが出たことにより解法の突破口が見えました。

JJMOはある種の競技性が強い数学のコンテストです。
教員も巻き込み,仲間と楽しみながらアイデアをぶつけ合う,非常に良い時間となりました。

78期学年(中学2年)では数学コンテストを定期的に実施しています。

形式は,「短い制限時間内の試験」ではなく,1/8(木)から1/30(木)までの約3週間,自宅や休み時間など自由に時間を使って,与えられた7つの難題に挑戦する形式です。


【写真】数学コンテスト解答状況を廊下に掲示。毎日正解者数を更新しています。(写真は1/15日時点のものです)

実際に出題した7題のうち2題ほどを紹介します:

<問題3>

nを自然数とし,次の条件を満たす を見つけることを考えます。

(条件)n×2020 は2つの連続した自然数の積で表現される。

この条件を満たす明白なnは,n=2019 やn=2021 ですが,
n=5 のときも,
5×2020=100×101
と書き換えられるので条件を満たしていると言えます。これは興味深いことです。
では,2019未満の自然数nのうち,条件を満たす最大のnを求めてみてください。

<問題7>

学習したように,√2 を小数で書き下すと,
√2=1.4121…
となります。循環のない無限小数です。ところで,
√55=7.4161…
ですので,√2と√55では小数第1位と小数第2位が一致していることが見てとれます。 また,
√180=13.4161…
であるので,√2と√180でも小数第1位と小数第2位が一致していることが見てとれます。
さて,そこで, 次の条件を満たす最小の自然数n(ただしn≧3とする)を求めて下さい:

(条件)√nと√2は小数で書き下したときに,小数第1位,小数第2位,小数第3位,小数第4位が一致する。

※なお,この問題は電卓があると解きやすいと思われます。使用する電卓については根号機能は必要なく,掛け算機能のみあれば充分です。

柔軟な発想と計算力が要求され,1題解くのも難しい問題です。
解答に際しては,友人と相談しても構いませんし,電卓やPCを使っても構いません(PCは使わなくても解ける問題を出題していますが)。実際に第7問目は電卓の使用を推奨する問題でしたが,手計算のみで答えを出した生徒が今のところ2名います。また,プログラミングによる解答も立派な解答で,そのような方法で解答してくれた生徒もいます。

学年としては,
①新しいアイデアを考えることの楽しさ
②数字に遊び感覚で触れ合い,「勉強」と「遊び」の境界をなくすこと
③親友と話題になる数学
をねらいとしてコンテストを開催しています。

作題者としては,生徒が楽しそうに解いているのを見るのが最高の喜びです。

<追記>
解答をこちらのページに掲載いたしました。

10/16(水),17(水)の1泊2日で、「クラスの日」に行ってきました。

「クラスの日」とは中3と高2が修学旅行に行く1週間の平日に、中1・中2の各クラスが、クラスごとに宿泊地や目的を決めて行う、本校独自の行事です。

1泊2日、費用は18,300円以内(300円は増税対応分)、引率教員は2人、という制約の中で、9月から話し合いを始めて、決めていきます。旅行代理店や宿と交渉を重ねてクラスの生徒の要望を予算以内で達成することが、委員の仕事となります。

「アスレチックに行きたい」「バーべキューしたい」「紅葉見ながらサイクリング!」「果物狩りしたい」「クラスのみんなでスポーツしたい」「肝試しをしたい」「世界遺産を見たい」「ご当地の美味しいものを食べたい」

「温泉宿がいい」「何か、記念に創りたい」「生徒がバタバタしても振動しない、鉄筋の宿がいい」という生徒・教員からのいろいろな要望に応えないといけません。

また、今年は直前の台風19号の襲来を受けて、予定していたルートや行程を変更しないといけないクラスもありましたが、引き出しの多い添乗員さんの援助もあり、どのクラスも、無事に楽しく行ってくることができました。詳しくは、中1の保護者向けの学年通信にまとめました。今回は、特に評判がいいので、ホームページの方にもアップしました。

どうぞ、皆様、ご覧ください。

 

79期学年通信12号

79期学年通信13号

78期学年(中学2年)では数学コンテストを定期的に実施しています。
形式は,「短い制限時間内の試験」ではなく,4/13(土)から4/27(土)までの2週間,自宅や休み時間など自由に時間を使って,与えられた7つの難題に挑戦する形式です。


【写真】数学コンテスト解答状況を廊下に掲示。写真は4/16時点のもの

参加は任意ですが,中学2年生全体で48名の挑戦者からの解答を受け付けました!

柔軟な発想と計算力が要求され,1題解くのも難しい問題ですが,20名の挑戦者が6題以上に正解,全問正解者は14人にのぼりました。

問題に関して,友人との相談は可で,計算を分担し,力技で解くグループもあれば,個人でスマートな解き方をする生徒,また,コンピューターの使用も可(もちろん使わなくて解ける問題を出題していますが)で,プログラミングやエクセルを用いて解答にたどりついた生徒もいました。

実際に出題した7題のうち2題ほどを紹介します:

<問題6>(正解者数26名)
21個の連続した自然数の組で,どの数も13以下の1個以上の素数で割り切れるものは1万以下にたった1組だけ存在する。その連続する21個の自然数の一番初めの(一番小さな)数を答えよ。

<問題7>(正解者数27名)
1からスタートし,以下の2つの規則に従って新しい数字を作り出す:

  (規則1)現在の数字を2倍しても構わない。
  (規則2)現在の数字から1を引いた数が3で割り切れるのならば,そうして構わない。

例えば,1からスタートして6を作り出すには,
1→2→4→8→16→5→10→3→6
 であるため,6を生成することができる。このとき,数字の流れ
「1→2→4→8→16→5→10→3→6」のことを6の生成列と呼ぶ。
6の生成列はただひとつしかなく,6の生成列に現れる最大の数値をF(6)と表現すれば,F(6)=16
である。念のため,他の例も見てみよう。例えば78の生成列は,

「1→2→4→8→16→5→10→20→40→13→26→52→17→34→11→22→44→88→29→58→19→38→76→152→304→101→202→67→134→268→89→178→59→118→39→78」
 
であるので,78の生成列に現れる最大の数値F(78)はF(78)=304である。
さて,31の生成列において現れる最大の数値F(31)の値を求めよ。

学年としては,
 ①新しいアイデアを考えることの楽しさ
 ②数字に遊び感覚で触れ合い,「勉強」と「遊び」の境界をなくすこと
 ③親友と話題になる数学
をねらいとしてコンテストを開催しています。
2,3時間,あるいは数日間,粘り強く考え抜いた末に解答が得られた瞬間に最高の喜びが待っています。
1題正解するごとに,1つのスタンプが押されます。出題者の数学教員としては,スタンプを押した瞬間の挑戦者生徒の嬉しそうな表情を見るのを楽しみにしています。
「解けそうで解けない問題」は「壊れにくい玩具」に似ていると思います。コーヒーや紅茶を片手に,思索にふけるのはとても贅沢な時間です!

なお,「第4回78期数学コンテスト」は2学期はじめを予定しています。

中学行事
4
Apr
27

中学2年生の遠足は,大塚山,日の出山に登山します。
安全の確保とコースマップの分岐の確認のために,遠足委員は引率の教員と共に下見を行うのが仕事です。

4月13日(土)は天候が危ぶまれたものの,無事に下見を行うことができました:


【写真①】古里駅に朝9時に集合した遠足委員たち


【写真②】日の出山山頂にて。標高は900m程度。


【写真③】山頂付近には雪が残っていました。


【写真④】コース上の分岐を確認するのも委員の責務です。

委員長 中学2年濵中君から学年へのメッセージ:

遠足委員長の濵中です。去年に引き続き遠足委員になりました。学年全員が安全に楽しく遠足を行えるようにすることが、今年の僕の役目だと思っています。今年もよろしくお願いします。

 今回も奥多摩に行きます。最初の山までが一番きついと思います。また、分岐が多く、そのため大塚山の山頂に行けなかった人もいました。しおりなどに分岐点について細かく載せます。
 木の根や岩があるので足をくじくなどのけがにきをつけてください。あと、駅には自動券売機がないので最寄駅でチャージするようにしてください。

第67回桐朋祭のテーマソングが完成しました。

作曲者のコメントとともに、ぜひお聴き下さい!

 

第六十七回桐朋祭テーマソング「小さな奇跡」の作詞・作曲を担当しました、2年F組の中村響きです。

このような形で学校最大の行事と関わることができ、とても嬉しく思っています。

今回テーマソングを制作するにあたり、青春という言葉にぴったりな曲を作りたい考えました。

桐朋は自由な校風であるとよく言われますが、私は高校生になって、自由とは何か、徐々に理解してきたように思います。

どんなことにも興味をもち、一生懸命になったとしても、否定せず個性として認めてくれる友人たちや先生方と、どんなことでもできる環境が、私たちの学校の誇るべき自由です。

桐朋祭はまさにその象徴であり、私が思う青春とは、そういう一生懸命な桐朋生一人ひとりの姿です。

「小さな奇跡」はそんなイメージで、さわやかで熱い曲を目指して作らせていただきました。拙い作品ですが、ぜひ聴いていただければと思います。

 

また、演奏は74期学年のバンドメンバーを中心に行いました。彼らは桐朋祭委員としても中心的な役割を担いながら、アレンジなども積極的にこなしてくれました。

歌詞そのままの、全力の演奏もお楽しみ下さい。

下の音楽再生バーの左端をクリックしてください(音が出ます)

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