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第11回 78期数学コンテスト

11
Nov
5

 78期が中学1年生から1学期に1回のペースで行ってきた数学コンテストです。高校1年生の2学期現在,通算11回目のコンテストになります。

実施期間は2021年9月4日~9月21日の約2週間で,全問正解者は13名でした。このうち3名は特別参加の下級生(中学3年生)です。
「思考を楽しむこと」「学びと遊びの境界をなくすこと」「友人と話題になる問題」を目標に出題しています。
今回の出題範囲は高校1年生の1学期までの学習範囲です。

提出は任意,期間中であれば何度でも提出可能,電卓やPCの使用も可(PCは使わなくて解ける問題を出題していますが),友人・家族との相談も可です。今回も多くの生徒が挑戦し,高得点者27名を表彰しました。

問題の全文はこちらのダウンロードリンクから閲覧することができます。今回はその中から2つの問題を紹介します。この2問は小学生でも挑戦可能ですので,挑戦してみて下さい。


問題3 目撃者の証言
小さな町で起きた銀行強盗事件。
銀行から走り去っていく犯人を8人の目撃者が次のように証言した:

目撃者Aさん「犯人の年齢は20才から34才で,かつ,身長は165cm以上180cm未満でした」
目撃者Bさん「犯人の年齢は25才から44才で,かつ,身長は155cm以上175cm未満でした」
目撃者Cさん「犯人の年齢は25才から49才で,かつ,身長は160cm以上175cm未満でした」
目撃者Dさん「犯人の年齢は30才から49才で,かつ,身長は170cm以上185cm未満でした」
目撃者Eさん「犯人の年齢は30才から44才で,かつ,身長は165cm以上180cm未満でした」
目撃者Fさん「犯人の年齢は35才から49才で,かつ,身長は160cm以上170cm未満でした」
目撃者Gさん「犯人の年齢は25才から34才で,かつ,身長は165cm以上180cm未満でした」
目撃者Hさん「犯人の年齢は35才から39才で,かつ,身長は160cm以上175cm未満でした」
 
懸命な捜査の結果,犯人は無事に逮捕された。
これは,犯人逮捕後に分かったことであるが,8人の証言のうち,正確な証言をした人は3人しかおらず,残りの5人の証言には誤りが含まれていた。見間違いのせいだろうから,仕方がない。

 正確な証言をした3名の目撃者をアルファベットで解答せよ。

********問題の解答と方針はページ下部に掲載しています********


問題7 互いに素
ルールに従って方眼のマス目に数字を入れます。

[ルール]
辺を共有するマス目同士(すなわち上下または左右のマス目同士)の数字は互いに素になるようにする

次の例は,ルールに従って,3×3マスの方眼に数字を埋めたものです。

では問題です:
 5×5マスの方眼に以下の25個の数字をルールに従って埋めます。

  2,3,4,6,7,8,9,12,14,18,24,35,36,48,49,54,72,77,91,96,119,133,161,203,217

埋め方は複数通りありますが,太枠で囲まれた3か所に当てはまる数字の合計値として最も小さな値はいくらでしょうか。

********問題の解答と方針はページ下部に掲載しています********

熱心な解答者たちにより,最初の全問正解者は,コンテスト開催2日目に出ました。
次回はもっと難問を作題しようと思います。数学オリンピックを目指している生徒や高入生,下級生など多くの生徒の挑戦があり,嬉しい限りです。第12回数学コンテストは3学期開催を予定しています。

<過去関連記事>過去の記事はこちらです

第10回 78期数学コンテスト
第9回 78期数学コンテスト解答
第8回 78期数学コンテスト解答
第8回 78期数学コンテスト
第7回 78期数学コンテスト
第5回 78期数学コンテスト解答
第5回 78期数学コンテスト
第3回 78期数学コンテスト

<今回ご紹介した2題の略解・解答の方針>
【第3問解答】 B,C,F
 横軸に年齢,縦軸に身長の座標軸を書き,それぞれの目撃情報を長方形として表現します。
 長方形が3枚重なっている箇所を探します。(長方形を色分けすると見やすいかもしれません)

【第7問解答】 14
 偶数同士は隣接できず,偶数は13個あるので,25マスのうち,市松模様のように配置するしかありません。
 また,その中でも6の倍数の配置は限られます。なぜなら3の倍数もたくさんあるからです。
 条件を整理していくと,太線の枠には2,4,8を配置可能です。

<そのほかの問題の解答>
第1問 825/31 第2問 5個,x=287 第4問 m=88 第5問 58025 第6問 67.5°

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