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第10回 78期数学コンテスト

5
May
21

 78期が中学1年生から1学期に1回のペースで行ってきた数学コンテストです。生徒からの要望により,高校進学後も実施することになりました。高校1年生を主に対象とした,通算10回目のコンテストです。

実施期間は2021年4月10日~4月24日の約2週間で,全問正解者は24名でした。このうち4名は特別参加の下級生(中学3年生)です。「思考を楽しむこと」「学びと遊びの境界をなくすこと」「友人と話題になる問題」を目標に出題しています。提出は任意,期間中であれば何度でも提出可能,電卓やPCの使用も可(PCは使わなくて解ける問題を出題していますが),友人・家族との相談も可です。

問題の全文はこちらのダウンロードリンクから閲覧することができます。今回はその中から3つの問題を紹介します。


問題4 嘘つき
ある集落に100人の村人が住んでいる。
村人のうち,何人かは嘘つきで,残りは全員正直者である。
嘘つきは常に誤った回答しかせず,
正直者は常に正しい回答をする。

彼らはそれぞれ別の家に1人で住んでおり,
それら100軒の家は広場を囲むように円形状に並んでいる。

いま,「あなたの隣家に嘘つきが住んでいますか」というアンケート
を行ったところ,25人が「はい」と回答し,残りの75人は「いいえ」と回答した。

嘘つきは最も少なくて何人いるか答えなさい。

【コメント】
直観ではかなりの嘘つきが住んでいそうですが,答えは意外と少ないです(答えはこのページの最下部に記載しておきます。)。嘘つきと正直者のうまい配置を考える問題です。


問題5 虫食い算
次のA~Fにあてはまる1桁の自然数を答えなさい

【コメント】
着眼点はD,Fの数値の上限を見極めること。AとFの偶奇が一致すること。そして左辺と右辺のみに注目して,4乗引く3乗の値にバリエーションが限られることです。見た目以上にハードな計算になります。答えはこのページの最下部に記載しておきます。


問題7 素数生成式

a,b,cは9以下の自然数とする。nについての2次式f(n)を

 f(n)=an^2+bn+c とする。

7つの値
  f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7)

がすべて素数になるとき,a,b,cの値を求めよ。

必要に応じて,以下の素数表を利用しても構わない。

(※n^2は「nの2乗」です。HPの入力の都合上そのようにさせていただきます)

▶2桁以下の素数
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

▶3桁の素数
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

【コメント】
f(n)=n(an+b)+c であり,f(2),f(3),…,f(7)が素数になることから,cの値がまず決まります。
それを糸口に解いていく問題です。全ての係数が自然数という単純な式でも7つの素数を作り出せること,そして実は問題の答えが1つしかないことがこの問題の“わくわく感”を演出しています。オイラーの素数生成式を意識した作題でした。答えはこのページの最下部に記載しておきます。

 今回は高校から入学した多くの生徒が参加してくれました。開始初日の放課後にはわざわざ残って解答してくれた生徒もいましたし,休み時間にも話題にしてくれている人がいて大変嬉しいです。作題はいずれもオリジナルです。計算量が多く,大変だったとの声もあったので,次回はアイディア勝負の問題の比率を増やそうと思います。問題が解けたときのスリル感を少しでも多くの人に味わってもらえればと思います。

<過去関連記事>過去の記事はこちらです
第9回 78期数学コンテスト解答
第8回 78期数学コンテスト解答
第8回 78期数学コンテスト
第7回 78期数学コンテスト
第5回 78期数学コンテスト解答
第5回 78期数学コンテスト
第3回 78期数学コンテスト

<今回ご紹介した3題の略解>
第4問解答 9人
第5問解答 A=2,B=5,C=8,D=1,E=3,F=4
第7問解答 a=5,b=5,c=1

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