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第8回数学コンテスト 解答

1
Jan
29

先日の記事(78期 第8回数学コンテスト)で紹介した問題の解答を掲載します。

問題の概要は,以下の通りでした。
・数字のタイルを踏んで,下の入口(A~G)から上の出口(H~N)に抜ける。
・踏んだタイルの数値の合計が78の倍数になるようにしなければならない。
・上下左右には進めるが,1回の移動で斜めには進めない。
・遠回りしても大丈夫。

タイルの数字は一見ばらばらですが,数字の足し算を行っていると,ある規則性に気づきます。
なんと,迷宮の広間の大半の部分は,「(78の倍数)+12」または「(78の倍数)+66」と書けるのです。
“78で割った余り”に注目し,迷宮の数字を書き換えると,下の図のようになります。
12+66=78より,「(78の倍数)+12」+「(78の倍数)+66」=(78の倍数)です。
したがって,基本的にピンクの部分は「2マス進む」と78の倍数が足されることになります。
つまり,ピンクの部分はいくら移動しても主人公の運命に影響を与えることはないのです!

そこで,基本的に入口と出口の数字(青色部分)の組み合わせによって78の倍数を作るのですが,これは不可能になっています。そこで,広間に1枚だけあるイレギュラーなタイル(黄色)に注目し,このタイルを利用すれば,入口Eから入って出口Mから抜けられます。言い換えれば,この黄色のタイルを踏まなければ条件を満たすように抜けられません。


【条件を満たすような移動の仕方の一例】

Eから入り,元々「-182」と書かれていたタイルを踏み,Mから抜ければ,必ず78の倍数になりますが,それ以外の方法では必ず失敗するという不思議なパズルでした。

なお,この問題は,コンテスト開始2日目に初の正解者が出たのち,コンテスト終了まで累計で11名の正解者が出ました(うち,1名は中学2年生)。

コンテストは中3生対象ですが,中学2年生の希望者も参加していますので,学内で参加ご希望の方は78期数学担当者までお声がけください。解いた感想を聞くのが作題者の楽しみになっています。なお,現在第9回目の数学コンテストを実施中です。問題全文は下記からダウンロード可能です。

第9回 78期数学コンテスト

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