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第9回 78期数学コンテスト

2021年2月20日

 78期が中学1年生から1学期に1回のペースで行ってきた数学コンテストが,中学3年生の3学期で,ついに9回目の実施を迎えました。

 実施期間は2021年1月26日~2月16日の約3週間弱で,全問正解者は21名でした。このうち5名は特別参加の下級生(中学2年生)です。「思考を楽しむこと」「学びと遊びの境界をなくすこと」「友人と話題になる問題」を目標に出題しています。提出は任意,期間中であれば何度でも提出可能,電卓やPCの使用も可(PCは使わなくて解ける問題を出題していますが),友人・家族との相談も可です。

 問題の全文はこちらのダウンロードリンクから閲覧することができます。今回はその中から2つの問題を紹介します。


問題6 ピタゴラス
辺の長さが互いに異なる11個の直角三角形がある。
これらの直角三角形の辺の長さ(33個)をすべて書き並べ,さらに無関係な1つの数字を書き添え,34個の数字を小さい順に書き並べたところ,以下のようになった:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,
13,14,15,16,20,21,24,25,29,30,
34,35,36,37,38,39,40,41,48,50,
60,61,84,85

書き添えられた無関係な数字1つはどれか。

【コメント】
これは7題の中で唯一パズル要素の強い問題です。ピタゴラス数の組み合わせを見つけていきます。比較的大きな数から切り崩していくと良いでしょう。


問題7 4つの素数
互いに異なる4個の数p,q,r,sはすべて3以上の素数であり,以下の等式を満たしている:

 pqr+pq+qr+rp+p+q+r-16s-7=0

 このとき,sの値として考えられる最も小さな数は何か。
必要に応じて,以下の素数表を利用しても構わない。

▶2桁以下の素数
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

▶3桁の素数
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

【コメント】
一部分を因数分解することで,解くことができます。2種類の素数(4n+1型の素数と4n+3型の素数)に注目すると良いでしょう。当てはまるのがすべて素数ということで,当てはめでいくしかなさそうに見えますが,論理立てて解くことができる問題です。半日で最初の正解者が出ました。

なるべく解答を見ないことをお勧めしますが,
第9回78期数学コンテストの略解はこちらのリンクに掲載致します。

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